均值不等式与三角不等式【详解】
发布日期：2024-10-15 14:05 点击次数：88
一、均值不等式
均值不等式的基本看法：关于一组正实数，其算术平均数大于就是几何平均数。即若有n个正实数x1、x2、...、xn，则它们的算术平均数A ≥ 它们的几何平均数G。这一不等式可暗示为：(x1 + x2 + ... + xn) / n ≥ (x1 * x2 * ... * xn)^(1/n)。
当
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时，图片
，当且仅当
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时等号配置。（庞大平均值、算数平均值、几何平均值、接济平均值）
接济平均数：Hn = n / (1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)
几何平均数：Gn = n√(a1 * a2 * ... * an)
算术平均数：An = (a1 + a2 + ... + an) / n
庞大平均数：Qn = √((a1^2 + a2^2 + ... + an^2) / n)
认识顺序：数学归纳法，通过渐渐认识n=2、n=k和n=k+1时均值不等式配置，从而认识均值不等式对恣意正整数n齐配置。
若两个正数的和、积、庞大和、倒数和一个有定值，则其他三个有最值。重心掌持和与积的相关。
积定和最小。
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（重中之重）和定积最大。
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1、一正二定三尽头四同期
一正：惟有正数智力使用均值不等式
有些均值不等式的变形依然不需要正数的约束了，如
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负时不错使用对勾函数来分析
二定：积定和最小。和定积最大
三尽头：最值取到需要考据两数能否尽头
即使最值取不到，不等式依然配置
不错使用对勾函数来分析的确最值是若干
四同期：屡次使用均值不等式要看几次等号配置的条目能否同期配置
即使最值取不到，不等式依然配置
2、凑零次
3、指对运算概述了两数字的和、积
4、换元将两数暴透露来
5、积乘常数、和加常数、因式理解、配方将两数暴透露来
6、退换为所求的不等式，解不等式
7、屡次使用不等式
二、三角不等式
基本界说：在三角形中，恣意双方之和大于第三边。即关于三角形ABC，有AB + AC > BC，BC + AC > AB，以及AB + BC > AC。
基础公式：记作AB + AC > BC，暗示三角形双方之和势必大于第三边。
敷裕值不等式
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，底下一分为二去理会：图片
等号配置的条目分辩是图片
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等号配置的条目分辩是图片
左边外层的敷裕值也不错去掉：
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等号配置的条目是图片
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等号配置的条目是图片
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等号配置的条目是图片
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等号配置的条目是图片
用三角不等式求最值
1、
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视和差谁是定而取正或负图片
视和差谁是定而取正或负2、
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认识顺序：
线段公理：通过直不雅理会两点之间线段最短的性质，不错推导出三角不等式。
代数法：诈欺余弦定理等代数器具，不错认识三角不等式。
三角法：诈欺三角形中的恒等式和三角函数性质，也不错认识三角不等式。
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